高等数学
习 题 一
1． 填空题
⑴ 设，则常数__
[解答]
由题意可得 即
⑵ __
[解答]
且
又
由夹逼原则可得原式
⑶ 已知极限，则
[解答]当时，由可得
原式同理可得
故原式
⑷ 已知则__
[解答] 原式
⑸ 已知函数则__
[解答] 又所以
⑹ __
[解答] 原式
⑺ 设函数有连续的导函数，，,若在处连续，则常数＿
[解答]
⑻ 设当时，=为的阶无穷小，则
[解答]
由此可得 ，
⑼ __
[解答] 原式
⑽ 已知，则＿，＿
[解答] =
若极限存在 则 得 故
2．选择题
⑴ 设和在内有定义，为连续函数，且，有间断点，则
必有间断点 必有间断点
必有间断点 必有间断点
[解答]若连续，则也连续，与题设矛盾，所以应该选.
⑵ 设函数则是
偶函数 无界函数 周期函数 单调函数
[解答]因为，所以，又为无界函数，当任意给定一正数，都存在时，使得，于是，故为无界函数，所以应该选.
⑶ 当时，函数的极限是
等于 等于 为 不存在但不为
[解答]
所以应该选.
⑷ 若函数在处连续，则的值是
[解答] ，则，所以应该选.
⑸ 极限的值是
不存在
[解答] 原式，所以应该选.
⑹ 设则值是
均不对
[解答] 原式 解得 所以应该选.
⑺ 设则的值为
， ， ， 均不对
[解答] 原式，由可得，所以应该选.
⑻ 设则当时，
是的等价无穷小 与是同阶但非等价无穷小
是比较低阶的无穷小 是比较高阶无穷小
[解答] 原式，所以应该选.
⑼ 设则的值是
[解答] 若原式极限存在，当时，由可得，所以应该选.
⑽ 设 其中则必有
[解答] 原式
可得，所以应该选.
3．计算题
⑴ 求下列极限
①
[解答] 原式
②
[解答] 原式
③
[解答] 原式
④
[解答] 原式
又
所以原极限
⑵ 求下列极限
①
[解答] 原式
②
[解答] 原式
1
③
[解答] 原式
⑶ 求下列极限
①
[解答] 原式 ()
②
[解答] 原式
③
[解答] 原式
④
[解答] 原式
且 ＞＞
又 ，
故由夹逼原则知原式
⑤
[解答] 当时，原式
当时，原式
当时，原式
⑥ 其中
[解答] 原式 ()
4．设试讨论在处的连续性和可导性.
[解答] ⑴ 由
于是在处连续.
⑵ 分别求在处的左、右导数
所以在处连续且可导.
5．求下列函数的间断点并判别类型.
①
[解答] 为函数的间断点
又
所以为函数第一类跳跃间断点.
②
[解答] 当时，
当时，
当时，
即，所以为函数第一类间断点.
③
[解答] 当时，
所以为第一类跳跃间断点.
当时， 不存在，所以为第二类间断点.
当时，
所以为第一类可去间断点.
当时，
所以为第二类无穷间断点.
6．试确定常数的值，使极限存在，并求该极限值.
[解答] 原式存在
由可得，即
则原式
同理由可得，即
所以原式
7．设，且是的可去间断点，求的值.
[解答] 存在，由可得.
原式存在，同理由可得.
8．设求的值.
[解答] 原式 ()
由可得
原式
，即
9．讨论函数在处的连续性.
[解答] 当时，
所以若时，在连续.
若时，在为第一类跳跃间断点.
当时，是的第二类间断点.
10．设在的某邻域内二阶可导，且求及
[解答]
由可得
所以
第二章
一、填空题
7．设，则__
[解答] 原式 所以
8．已知，则__
[解答] 原式 即
令，则
9．设为可导函数，，则__
[解答] 原式
10．设函数由方程所确定，则曲线在点处的法线方程为__
[解答] 两边求导
将代入可得
故所求的方程为
二．选择题
1． 设可导，，则是在处可导的
充分必要条件 充分但非必要条件
必要但非充分条件 既非充分又非必要条件
[解答]
若在处可导，即，所以应该选.
2． 设是连续函数，且，则
[解答] ，所以应该选.
3． 已知函数具有任意阶导数，且，则当为大于2的正整数时，的阶导数是
[解答] ，
由数学归纳法可得，所以应该选.
4．设函数对任意均满足，且，其中为非零常数，则
在处不可导 在处可导，且
在处可导，且 在处可导，且
[解答] ，故应选.
二、选择
7．设在处可导，则
为任意常数
为任意常数
[解答] 由在连续可得
由在可导得
则，所以应该选.
8．设，则在处可导的充要条件为
存在 存在
存在 存在
[解答] 当时，～，则
等价于，所以应该选.
9．设函数在上可导，则
当时，必有
当时，必有
当时，必有
当时，必有
[解答] 若设时，均错误，若设时，错误，故选.
10．设函数在处可导，则函数在处不可导的充分条件是
且 且
且 且
[解答] 令，由导数定义可得
若，由的连续性及保号性可得，此时
若，同理可得.
故若不存在，则
若，且，设，由于
所以当时，，时，
则
故不存在，所以应该选.
三．计算题
1．，求.
[解答]
2．已知可导，，求.
[解答]
3．已知，求.
[解答] 等式两边对求导可得
化简可得
4．设的函数是由方程确定的，求.
[解答] 等式两边对求导可得
化简得
5．已知，求.
[解答]
6．设，求.
[解答] 等式两边对求导可得
可得又
所以
7．设函数二阶可导，，且，求.
[解答]
8．设曲线由方程组确定，求该曲线在处的曲率.
[解答] ，则
四．已知，其中有二阶连续的导数，且
⑴ 确定的值，使在点连续； ⑵ 求.
[解答] ⑴
即当时，在处连续.
⑵ 当时，有
当时，由导数的定义有
五．已知当时，有定义且二阶可导，问为何值时
是二阶可导.
[解答] 在处连续
则即
在处一阶可导，则有
此时，
在处二阶可导，则有
六．已知，求.
[解答]
又在处的麦克劳林级数展开式为
通过比较可得，当时，
当时，
七．设，求.
[解答] ,,,
通过递推公式可得
当时，
八．证明满足方程
证明：
化简可得
得证.
第三章
1．求下列不定积分.
⑴
[解答] 原式
⑵
[解答] 原式
⑶
[解答] 原式
⑷
[解答] 原式
⑸
[解答] 设
原式
2．求下列不定积分.
⑴
[解答] 设
原式
⑵
[解答] 设 ，
原式
⑶
[解答] 设
原式
⑷
[解答] 原式
⑸
[解答] 设
原式
⑹
[解答] 设 ，则
原式
⑺
[解答] 设 ，
原式
3．求下列不定积分.
⑴
[解答] 原式
⑵
[解答] 设 ，则
原式
4．求下列不定积分.
⑴
[解答] 设 ，
原式
⑵
[解答] 设 ，
原式
5．求下列不定积分.
⑴
[解答] 原式
⑵
[解答]
所以
⑶
[解答] 原式
⑷
[解答] 原式
移项得
⑸
[解答] 原式
6．求下列不定积分.
⑴
[解答] 原式
再求
设 ，则
原式==
所以
原式
⑵
[解答] 设
原式
⑶
[解答] 设
原式
7．设，求
[解答] 当时
当时
因为在处连续，可得，所以
8．设，(为不同时为零的常数)，求.
[解答] 设 ，，
则
又
所以
即
9．求下列不定积分.
⑴
[解答] 原式
⑵
[解答] 原式
⑶
[解答] 原式
⑷
[解答] 原式
10．设当时，连续，求
[解答] 原式
11．设，求.
[解答] 设，则
所以
12．求下列不定积分.
⑴
[解答] 设
原式
⑵
[解答] 设
原式
⑶
[解答] 设
原式
⑷
[解答] 设
原式
13．下列不定积分.
⑴
[解答] 设
原式
⑵
[解答] 设
原式
⑶
[解答] 设 ，则
原式
⑷
[解答] 设 ，
原式
14．求下列不定积分.
⑴
[解答] 原式
⑵
[解答] 原式
⑶
[解答] 原式
15．求下列不定积分.
⑴
[解答] 设
原式
⑵
[解答] 设
原式
⑶
[解答] 设
原式
习 题 四（1）
1． 若在上连续，证明：对于任意选定的连续函数，均有则在上，
证明：假设在上存在使得，令，由于在上连续，故存在在上，使得.
又令
则
结论与题设矛盾，故假设不成立.
2． 设为任意实数，证明：
证明：设，则
所以
即 ，得证.
3． 已知在连续，对任意都有证明：
证明：在连续,则，又
所以
1． 设为大于的正整数，证明：.
证明： =
即
若，则
于是
这与推论矛盾，所以
若，则
于是
这与推论矛盾，所以
综上所述，有.
1． 设在上连续，且单调减少，，证明：对于满足的任何，，有
证明：由积分中值定律有
又，且单调递减，故当时，
所以
即
2． 设在上二阶可导，且证明：
证明：由泰勒公式有
又，则
两边积分可得
7．设在上连续，且单调不增，证明：任给，有
证明：，
所以
又，，单调不增，当时，
所以
8．设在上具有连续的二阶导数，且，证明：在内存在
一点，使
证明：由泰勒公式有
，
其中
具有二阶导数，设最大值为，最小值为，即
则
即 ，
由介值定理可得，至少存在一点，使得
即，得证.
9．设连续，证明：
证明：设，则
10．设在上连续，在内存在且可积，，证明：
证明: 由，可得
， 其中
即
12．设在上连续，且，则
证明： 令，
则
两边积分得
令，消除后得
即
13．设函数在上具有一阶连续导数，且，证明：
证明：由柯西不等式有
14．设函数在上连续，且，，证明：
，使
证明：因为在上连续，则必存在一点，使得，即
，
即
习 题 五
1. 设函数在在闭区间上可微，对于每一个，函数的值都在开区间内，且，证明：在内有且仅有一个，使.
证明： 设，则在上连续，又，所以，，由零值定理可知，
在内至少存在一个，使，即.
利用反证法证明在内至多有一个零点.
设且使得 ，，则由拉格朗日中值定理可得，至少存在一个，使得
这与题设矛盾，综上所述，命题得证.
2．设函数在上连续，内可导，且，证明：在内一个，使.
证明： 由积分中值定理，可知在上存在一点，使，，从而有.
于是由洛尔定理可知，在内存在一个，使，
3．设函数在上有二阶导数，且，又，证明：在内至少一个，使.
证明：由题意可得，根据洛尔定理可得至少存在，使得.
又 当时，.
再对在上应用洛尔定理，可得至少存在一个，
使得，命题得证.
4．设函数在上连续，在内可导，且，证明：在内一个，使.
证明：设，在上连续，在内可导，且，则在满足柯西定理，于是有，使
即
所以
5．设函数在上可导，且，证明：一个，使
证明：设，则在上满足拉格朗日中值定理，于是有使
即
所以
6．设函数在上连续，在内可导，证明：一个，使
证明：设 则
在上满足洛尔定理，于是存在，使，即
7．设函数在上有二阶导数，且，证明：至少一个使
证明：设，则，由洛尔定理可得，存在，使得,又 则
在上，由洛尔定理可得，存在，使得,即
8．设函数在上可导，且，证明：在内至少一个，使
证明：设，则在内，由柯西中值定理可得，至少存在一个，使得
即
所以
9．若，证明：一个或，使
证明：设，则在上，由柯西中值定理可得，存在一个，使得
即
化简可得
10．函数在上连续，在内可导，且，，证明：至少一个，使.
证明：设，由，可得
由洛尔定理可得，至少存在一个，使得
即
11．设函数在上连续，在内可导，证明：至少一个使
证明：设，则，由洛尔定理可得，至少存在一个，使得，即
12．设函数在上连续，在内有二阶导数，证明：至少一个使
证明：在处的泰勒展开式为
两式相加得
又在内有连续二阶导数，所以存在，使得，所以
.
13．设函数在上连续，在内可导，证明：在,使
证明：设，由柯西中值定理，在内至少存在，使得
即
对于，由拉格朗日中值定理可得，存在，使得
从而
14．设函数在上连续，在内可导，且，证明：使得
证明：设，由柯西中值定理可得，至少存在，使得
，即
设，由拉格朗日中值定理可得，存在，使得
从而 ，
即
15．设函数在上连续，在内可导，且，证明：，使得
证明：设，由柯西中值定理可得，对于，存在，使
对于，由拉格朗日中值定理可得，存在，使得
由两式可得
习 题 六
一．求解下列微分方程.
⑴
[解答] 令，则原微分方程可变化为 解其对应的齐次方程 ，可得
令为原方程的解，代入方程有，
解得，所以 故原方程的解为
⑵
[解答] 原方程可变换为
解得，即，
又，则，故
二．求解下列微分方程.
⑴
[解答] 令，则 ，原方程可变换为
即 ，解得，将代入可得
⑵
[解答] 设，将方程右端同除后可变换为
解得 即
由可得，故所求方程为
三．求解下列微分方程.
⑴
[解答] 令，又，则原方程式可变换为
解其对应的齐次方程，可得
令为原方程的解，代入方程有
解得
所以
⑵
[解答] 方程可变换为
其对应其次方程可解为
，积分可得 ，
即，齐次方程的通解为
令，代入原式中有，积分可解得
故原方程的通解为
⑶
[解答] 设，则，
所以原式可变换为
由贝努利方程，设，则方程变换为
其对应的齐次方程的解为 ，
令，代入原方程中可解得
所以 ，即
五．求解下列微分方程
⑴
[解答] 原式可变换为 ，即
设，则原方程可变换为
其对应的齐次方程的通解为
令 为原方程的解，代入原式中有
，可解得
故
⑵
[解答] 原式可变换为
由贝努利方程，设，则原式可变换为
其对应的齐次方程的通解为
令 为原方程的解，代入可得
解得
所以
六．函数在实轴上连续，存在，且具有性质，试求出.
[解答] 在实轴上连续，设，则
可得
又存在，则对任意，有
即处处可微且满足
解得
又故
八．求解下列方程
⑴
[解答] 原式可变换为 ，即
令，则又变换为 ，即
解此方程可得
又，则，所以
⑵
[解答] 令，则，
则原式可变换为
解此方程可得 ，即
又，则，所以
九．求解下列方程
⑴
[解答] 令，则原方程可变换为
即 ，积分可得
即
解得
⑵
[解答] 令，则原方程可变换为
解得，又，可得
所以 ，则 ，又，可得
故
⑶
[解答] 令，则原方程可变换为
令，则原方程又可变换为
解此方程可得，当时，，可得
则，又，可得所以
十二．求解下列微分方程.
⑴
[解答] 令，即 ，则原方程可变化为
即
相应特征方程为
齐次方程通解
特解
所以原式的通解为
⑵
[解答] 令，即 ，则原方程可变化为
即
相应特征方程为 齐次方程通解
特解
所以原式通解为
五．一质量为的物体，在粘性液体中由静止自由下落，假如液体阻力与运动速度成正比，试求物体运动的规律.
[解答] 物体受到的重力为，阻力为，则，其中，，则方程式变为
令，则方程式变化为
解其对应的齐次方程，可得
令为原方程的解，代入方程有，
解得，所以 ，
又，则
，又，则
所以
十六．有一盛满水的圆锥形漏斗，高，顶角，漏斗尖处有面积为㎡的小孔，求水流出时漏斗内水深的变化规律，并求出全部流出所需要的时间.
[解答] 从时刻到小孔流出的水量为
在此时间内，液面由降至，水量减少为
由题意可知 ，则，且当时，㎝.
所以方程为
当水全部流出时，，.
十七．设经过原点的曲线族上任一点处的切线交轴于点，从点向轴作垂线，其垂足为，已知与轴所围成的三角形的面积与曲边三角形的面积之比等于常数，试求该曲线族.
[解答] 为曲线上一点，则切线的方程为，坐标为,由题意可知
三角形的面积为
曲边三角形的面积为
又，则，对方程两边求导可得
化简可得
令，代入方程可得
解得，即
又，则解得，即.
十八．有一房间容积为，开始时房间空气中含有二氧化碳，为了改善房间的空气质量，用一台风量为/分的排风扇通入含的二氧化碳的新鲜空气，同时以相同的风量将混合均匀的空气排出，求排出分钟后，房间中二氧化碳含量的百分比？
[解答] 设在时刻，的含量为，则在时间内进入房间的的含量为
，排出房间的的含量为
所以在内的改变量为
化简得
解得 又 则 ，即
所以当时，，即的含量为.
习 题 七
2．填空题
⑴ 函数的单调减少区间__
[解答] ，令，可得
当时，，单调递减.
所以的单调递减区间是或.
⑵ 曲线与其在处的切线所围成的部分被轴分成两部分，这两部分面积之比是__
[解答] 直线方程为，即，
两直线的交点可求得 ，即求解
方法一：已知其一根为，设方程为
通过比较可得，可解得另外一根为
方法二：分解方程有
即
所以
则
⑶ 设在上连续，当＿时，取最小值.
[解答]
令，则
即
所以
⑷ 绕旋转所成旋转体体积__
[解答] 令，则
当时，
当时，
所以
⑸ 求心脏线和直线及围成的图形绕极轴旋转所成旋转体体积__
[解答] 将极坐标化为直角坐标形式为，
则
所以
4．计算题
⑴ 在直线与抛物线的交点上引抛物线的法线，求由两法线及连接两交点的弦所围成的三角形的面积.
[解答] 由题意可计算两法线的方程为
，即
，即
两直线的交点为，则
⑵ 过抛物线上的一点作切线，问为何值时所作的切线与抛物线所围成的面积最小.
[解答] 直线的斜率，则直线方程为，与抛物线相交，
即，设方程的两根为且，则
， 从而
又 ，所以
⑶ 求通过点的直线中使得为最小的直线方程.
[解答] 设，则
则
由可得 即 可得
又则当时为最小，此时方程为
⑷ 求函数的最大值与最小值.
[解答] 令，可得
当时，，即在取最小值，此时
当时，，即在取最大值
此时.
⑸ 求曲线与所围阴影部分面积，并将此面积绕轴旋转所构成的旋转体体积，如图所示.
[解答]
⑹ 已知圆，其中，求此圆绕轴旋转所构成的旋转体体积和表面积.
[解答] 令，如图所示，则
⑺ 设有一薄板其边缘为一抛物线，如图所示，铅直沉入水中，
① 若顶点恰好在水平面上，试求薄板所受的静压力，将薄板下沉多深，压力加倍？
[解答] 抛物线方程为，则在水下到这一小块所受的静压力为
所以整块薄板所受的静压力为
若下沉，此时受到的静压力为
要使，解得.
② 若将薄板倒置使弦恰好在水平面在上，试求薄板所受的静压力，将薄板下沉多深，压力加倍？
[解答] 建立如图坐标系，则抛物线方程为，则在水下到这一小块所受的静压力为
所以整块薄板所受的静压力为
若下沉，此时受到的静压力为
要使，解得.
第八章、第九章没有答案！！
习 题 十
1．设为连续的可微函数，求.
[解答] 令，则
， 则
2．设，其中为可微函数，求.
[解答] 直接对求导可得
化简可得
3．设，又，求.
[解答] 直接对求导可得
4．求下列方程确定函数的全微分.
⑴ ，求.
[解答] 直接微分可得
即 化简可得
⑵ ，求.
[解答] 化简可得
5．设，其中具有二阶连续偏导数，求.
[解答]
6．已知，求.
[解答]
7．已知，求.
[解答]
8．设，由确定，求.
[解答] 对方程组求导可得
求解可得
9．设，求.
[解答]
所以
10．设，其中具有二阶连续导数，二阶可导，求.
[解答]
11．已知，且，其中可微，连续，且，连续 ，试求.
[解答] ，又即
，又即
12．设，其中出现的函数是连续可微的，试计算.
[解答]
13．设，试确定常数，使.
[解答]
由，可得
14．若满足，其中有连续的二阶导数，求.
[解答] 令，
则
同理
则
化简得 即
解得
即 (为任意常数)
15．求曲面的平行于平面的切平面方程.
[解答] 曲面方程在处切平面的法向量为
则曲面在处切平面方程为
由题意可知 ，即 则
解得 即
所以切平面的方程为或
16．求圆周在处的切线与法平面方程.
[解答] 由题意，对求导得：
，
可解得
所以，圆周在的切向量
圆周在处的切线方程为
法平面方程为
17．试求函数在闭区域上与的最大值
[解答] 先求函数在内的驻点
由可得 ，即函数在内只有唯一的驻点，
再求在边界上的最值
在边界，，此时
在边界，，此时
在上，将代入中化简可得
，可得，此时
18．在椭球面内作内接直角平行六面体，求其最大体积.
[解答] 设位于第一挂限内椭球面上，则，由题意有
则
解得唯一解
所以
19．求原点到曲面的最短距离.
[解答] 设位于球面上，则
令，由题意可得，即求在约束条件下的最小值.
，则
当时，无解
当时，由，可得
20．当时，求函数在球面上的最大值，并证明对任意的正实数成立不等式
[解答] 由题意可得
，则
解得，
即在处值最大，此时
对于任意正数，设，即求在条件：下的最大值，则
解得唯一解
又在平面位于第一挂限部分的边界上为零，故在点处取最大值，即有
21．过平面和平面的交线，作球面的切平面，求切平面方程.
[解答] 由平面束方程可知，所求平面方程为
化简可得
由题意可得点到平面距离为
化简可得 即
解得 或
当时，代入方程可得切平面方程为
当时，代入方程可得切平面方程为
22．求直线与直线之间的垂直距离.
[解答] 过作平行于的平面，设平面的法向量为，则同时垂直于和的方向向量，故
所求得的平面方程为
化简可得
设是上的一点，则到平面的距离为
故所求直线的距离为.
习 题 十 一
4．求解下列二重积分：
⑴
[解答] 原式
⑵
[解答] 原式
⑶ ：由与所围的区域
[解答] 积分区域关于对称，同时被积函数是关于的奇函数，所以原式.
⑷ ：由的上凸弧段部分与轴所形成的曲边梯形
[解答] 对求二次导数，由题意可得时在此区间上为上凸区间，即
所以，原式
⑸ ：
[解答] 原式
5．计算下列二重积分：
⑴ ：
[解答] 由广义极坐标：，则，由区域与函数的对称性可得：
原式
⑵ ：，并求上序二重积分当的极限
[解答] 原式
，
原式
⑶
[解答] 原式
⑷ ：及
[解答] 原式
8．设是半径为的周长，证明：
证明：将积分化为极坐标形式为
9．设是上非负连续函数，在上连续且单调递增，证明：
证明：左边 ⑴
右边 ⑵
⑵ － ⑴ 可得
⑵ ＋ ⑴ 可得
由于都是连续且单调递增函数，所以
，即，从而，则
10．设均为正整数，且其中至少有一个是奇数，证明：
证明：当为奇数时，将积分化为先对后对的二重积分
因为为奇数，于是关于是奇函数
从而 ，所以.
当为奇数时，同理可证.
11．设函数在上连续，令，证明：
证明：
12．计算
[解答] 原式
13．，：由及所围之区域.
[解答] 设，则
14．计算下列三重积分：
⑴ ，：由及所围形体
[解答] 原式
⑵ ，：及所围形体
[解答] 原式
⑶ ，：由面上的区域绕轴旋转一周而成的空间区域，其中
：
[解答] 利用“先二后一”法将区间分为两部分
：，
：，
则原式
⑷ , ：由及所围形体
[解答] 原式
⑸ ,：由与所围的空间区域
[解答] 原式
⑹ ，为底面为单位正方形，高为的正四棱锥体，而为锥体中任一点到顶点的距离
[解答] 以底面正方形中心为，建立坐标系，其中，，，，则，此函数关于对称，故只需计算第一象限上的部分，由于的方程分别为和，所以
原式
15．求下列曲线所围图形的面积.
⑴
[解答] 两曲线的交点为
所以
⑶
[解答] 将原式化为极坐标形式为，令，可得或
所以
⑷
[解答] 设，原式化为极坐标形式为
原式
16．求曲面夹在两曲面之间的部分的面积.
[解答] 由题意可得
则
17．求用平面与曲面相截所得的截断面之面积.
[解答] 方法一：由，可得，
则所得的截断面之面积
即求之面积，其中：
令，，则
其中：，即
故
又椭圆的面积为
所以
方法二：由两方程可得
， 设所截圆面的半径为，
又原心到平面的距离，则圆面半径
所以
18．求下列曲面所围形体的体积.
⑴
[解答]
⑵
[解答]
⑶
[解答]
21．设质量为，半径为的非均匀球体，球上任一点的密度与该点到球心的距离成正比，求球关于切线的转动惯量.
[解答] 以球心为坐标原点，建立直角坐标系
令，则
设切线过点，方向向量为，则切线的转动惯量为
习 题 十 二
1． 设在内有连续导函数，求，其中是从点到点的直线段.
[解答] 令，
则，故在单连通区域内曲线积分与路径无关
方法一：选取积分路径：从到，再从到的折线段，于是
方法二：可取曲线:，从到则
2． 计算，其中为过，，三点的圆周.
[解答] 连接，使与围成区域，令，
则 ，
由格林公式可得
所以
1． 计算，是上半圆周，,的坐标分别为，.
[解答] 连接，使与围成区域，令，
由格林公式可得
则
2． 计算，其中为常数，，，，为上的一段弧，为上的一段弧.
[解答] 连接，使与围成区域，令
，
则 ，
由格林公式可得
则
5 .计算，其中为连接与的曲线弧段.
[解答] 令，, ，故在单连通区域内曲线积分与路径无关，因此取曲线：，从到则
6． 计算，其中是沿椭圆的正向从到的一段弧.
[解答] 连接，使围成区域，令，
则
由格林公式可得
则
7． 计算，其中是依次连接，，，的有向折线.
[解答] 连接，使围成区域，
令 ，
则
由格林公式可得
所以
则
8． 设平面与椭圆柱面相截，求其在及平面之间的椭圆柱面的侧面积.
[解答] 设
则
根据弧长的曲面积分
令，当从时，从，从
原式
9． 计算，其中和为连续函数，为连接和点的任何路径，但与线段围成图形有定面积.
[解答]
10．计算其中是通过点，，的半圆周.
[解答] 连接，使围成区域，
令 ，
则
由格林公式有
所以
11．,其中是圆周，,若从轴正向看去，这个圆周取逆时针方向.
[解答] 设为上侧，则
12．计算，其中是被平面所割下的部分.
[解答] 由对称性，只要计算第一挂限的部分，则
()
()
13．计算，:锥面及平面所围立体的外侧.
[解答] 由可得
则
14．求在处沿曲线：，在处的切线方向的方向导数.
[解答]
曲线切线方向向量
则
习 题 十 三
1． 证明不等式
证明：设 则
由拉格朗日中值定理可知，在上，至少存在一个，使
即
又，则，且，
所以
2． 若，证明：.
证明：设，则
，又为连续函数
所以
故
又设，则 ，所以为单调减函数.
，所以
所以 当时，，即
令，则，即
(原式中等号仅当与至少有一个为零时成立)
3． 设函数在上有连续导数，满足，并且，求证：
证明：设 ，
则
令 有
又 且当时，
所以 ，即，从而单调递增，则
即
线性代数第一章没有答案
习 题 二
3．设是互异的实数，证明：
的充要条件是.
证明：
又 是互异的实数
6．设为可逆矩阵，与是阶方阵，且满足，证明：和都是可逆矩阵，求.
证明：可逆，则也可逆.
说明是可逆的，且有，
同时有，所以也是可逆的.
7．若，是阶方阵，且可逆，则也可逆，且.
证明：与关系式应满足
于是
说明也是可逆的，且.
8．设，是阶方阵，已知可逆，且，求证：可逆.
证明：由于可逆，则有，
即
即
又 ，则 ，故可逆
则
从上式可知 是的逆阵， 故是可逆的.
9．设为阶正交矩阵，求证：.
证明：由为正交矩阵，则
即
又 为正交矩阵，则
于是
10．设，是阶方阵，证明：.
证明：由矩阵的初等变换可得
由于为偶数，所以.
14．假设为阶可逆方阵，证明： ⑴ ⑵
⑶
证明: ⑴
⑵
则 又
⑶
又 即 是可逆的.
又 即
16．设矩阵, 证明: 时, (为三阶单位矩阵)
证明: 通过计算可得 ,
由数学归纳法,假设当()时命题成立,即
则当,
故命题成立.
18．已知，是阶方阵，且满足，证明：.
证明：由题意可知
同理可得
19．设是阶方阵，，如果，证明：.
证明：，则可逆.
两式相减可得
20．设为阶非奇异矩阵，为维列向量，为常数，记分块矩阵
⑴ 计算并化简.
⑵ 证明：矩阵可逆的充要条件是.
[解答] ⑴
因为
所以 原式
⑵
又 即
又，，可逆，则，又，所以为矩阵可逆的充要条件.
习 题 三
2．设有三维列向量，问为何值时， ⑴ 可由线性表示，且表达式唯一； ⑵ 可由线性表示，但表达式不唯一； ⑶ 不能由线性表示；
[解答] 对增广矩阵作初等行变换有
⑴ 当时，，有唯一的表达式.
⑵ 当时，，表达式不唯一.
⑶ 当时，，不能表示出来.
4．已知个向量线性相关，但其中任意个都线性无关，证明：
⑴ 如果存在等式，则这些系数或者全为零，或者全不为零.
证明： ① 若，则，又任意个向量线性无关，故必有.
② 若，则必全不为零，若存在，则向量线性无关，与题设矛盾.
⑵ 如果存在两个等式，，其中，则
[证明] 将等式两边分别乘上后得
两式相减可得 ，又线性相关，则
，即 .
5．设向量线性无关，问常数满足什么条件时，，线性相关.
[解答] ，又线性无关，所以向量组线性相关的充要条件是，即当时，向量组是线性相关的.
6．设是阶矩阵，若存在正整数，使线性方程组有解向量，且，证明：向量组是线性相关的.
[证明] 设有实数使得，
又，，则()等式两边同乘有
即，又，则有,同理可证，
由定义知向量组是线性相关的.
习 题 四
3．设有线性方程组，问为何值时，方程组有唯一解？有无穷多组解？在有无穷多组解时，求出一般解.
[解答] 对增广矩阵作初等行变换，有
当，，方程组有唯一解.
当，，方程组无解.
当，，方程有无穷解，此时，方程组变换为
解方程可得
6．已知及
① 为何值时，不能表示成的线性组合.
② 为何值时，有的唯一的线性表示，并写出该表示式.
[解答] 对增广矩阵作初等行变换，有
① 当时，对增广矩阵继续变形可得
为任何值时，，即不能表示成的线性组合.
②当时，有唯一解，此时 ，有唯一的表达
式，即
7．已知方程组与方程组同解，试确定之值.
[解答] 由题意可知
是等价向量组，有
习 题 五
4．设均是阶矩阵，且秩，证明：有公共的特征向量.
证明：因，所以，且，即，
故有公共的特征值.
设，且是的基础解系，
也是对应于的特征向量.
是的基础解系，也是对应于的特征向量.
因,故，
所以向量组，必线性相关，
故存在不全为零的数使得
令，
即为对应的特征向量.
其中不全为零，线性无关，故，
又，分别是对应的特征向量，
故是对应于的公共的特征向量.
5．设三阶矩阵满足，其中列向量，，试求矩阵.
[解答] 由得
6．设矩阵与相似，其中
① 求和的值； ② 求可逆矩阵，使得
[解答] ① 为对角矩阵，相似，故特征值为，，
得的特征值为，，，比较可得，.
②
当特征值为时，特征向量为
时，特征向量为，
所以
7．设矩阵，矩阵，其中为实数，为单位矩阵，并求对角矩阵，使与相似，并求为何值时，为正定矩阵.
[解答] 的特征多项式为
所以的特征值为.
令是的特征向量，则 ，又 ，两式相加得
为是实矩阵，故对应的特征值为
由，所求对角阵
当，且时，对应的特征值全为正，故为正定矩阵.
8．设阶矩阵的特征值为，试求.
[解答] 为实矩阵，所以存在正交矩阵，使得，则，
所以
9．判断矩阵是否可对角化？若可对角化，求出可逆矩阵，使为对角矩阵.
[解答] 的特征多项式为
所以的特征值为.
当时，～，得
当时，～，得
当时，～，得
因为有三个线性无关的特征向量，所以能对角化.
所以
10．设，求.
[解答] 的特征多项式为
所以的特征值为
当时，～，得
当时，～，得
当时，～，得
因为有三个线性无关的特征向量，所以能对角化.
即，其中
，从而
故
12．设是方阵的特征值，，是对应于的线性无关的特征向量，
是对应于的线性无关的特征向量，证明：，线性无关.
证明：设线性相关，则可令
由题意可知 ，,将代入，有
可得 ，这与题设矛盾，所以，线性无关.
习 题 六
5．设实对称矩阵的特征值全大于，实对称矩阵的特征值全大于，证明：的特征值全大于.
证明：设的特征值为
矩阵，则为实对称矩阵.
又特征值，故为正定矩阵.
同理可证，为正定矩阵.
则为正定矩阵.
令的特征值为，则
即的特征值大于.
6．设是一个阶实对称矩阵，证明：的充分必要条件为存在一个阶实对称矩阵，使是正定矩阵.
证明： ⑴ 充分性
,则可逆.令，
则 ，
故 是正定矩阵.
⑵ 必要性
令，
则 INCLUDEPICTURE "F:\\new\\网站栏目内容\\复习指导\\数学复习指导\\陈文灯数学复习指南答案word版本.doc" \* MERGEFORMATINETINCLUDEPICTURE "F:\\new\\网站栏目内容\\复习指导\\数学复习指导\\陈文灯数学复习指南答案word版本.doc" \* MERGEFORMATINETINCLUDEPICTURE "F:\\new\\网站栏目内容\\复习指导\\数学复习指导\\陈文灯数学复习指南答案word版本.doc" \* MERGEFORMATINETINCLUDEPICTURE "F:\\new\\网站栏目内容\\复习指导\\数学复习指导\\陈文灯数学复习指南答案word版本.doc" \* MERGEFORMATINETINCLUDEPICTURE "F:\\new\\网站栏目内容\\复习指导\\数学复习指导\\陈文灯数学复习指南答案word版本.doc" \* MERGEFORMATINETINCLUDEPICTURE "F:\\new\\网站栏目内容\\复习指导\\数学复习指导\\陈文灯数学复习指南答案word版本.doc" \* MERGEFORMATINETINCLUDEPICTURE "F:\\new\\网站栏目内容\\复习指导\\数学复习指导\\陈文灯数学复习指南答案word版本.doc" \* MERGEFORMATINETINCLUDEPICTURE "F:\\new\\网站栏目内容\\复习指导\\数学复习指导\\陈文灯数学复习指南答案word版本.doc" \* MERGEFORMATINETINCLUDEPICTURE "F:\\new\\网站栏目内容\\复习指导\\数学复习指导\\陈文灯数学复习指南答案word版本.doc" \* MERGEFORMATINETINCLUDEPICTURE "F:\\new\\网站栏目内容\\复习指导\\数学复习指导\\陈文灯数学复习指南答案word版本.doc" \* MERGEFORMATINETINCLUDEPICTURE "F:\\new\\网站栏目内容\\复习指导\\数学复习指导\\陈文灯数学复习指南答案word版本.doc" \* MERGEFORMATINETINCLUDEPICTURE 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[解答] 由题意可得
9．甲乙两人投篮，命中率分别为，每人投三次，则甲比乙进球多的概率为＿
[解答] 设表示甲进球，表示乙进球，则由题意可得
10．三人独立破译一密码，他们能单独译出的概率分别为，则此密码被译出的概率为＿
[解答] 以分别表示三人单独破译密码事件，则
三．计算题
6．为了防止意外，在矿内同时设有两种警报系统和，每种系统单独使用时，其有效概率为，为，在失灵条件下，有效的概率为，求：
⑴ 发生意外时，这两种报警系统至少有一个有效的概率？
⑵ 失灵条件下，有效的概率？
[解答] ⑴ 由题意可得
即 得
则
⑵ 由题意可得
7．三个箱子，第一个箱子中有个黑球个白球，第二个箱子中有个黑球个白球，第三个箱子有个黑球个白球，现在随机的取一个箱子，在从这个箱子中取一个球，问；
⑴ 这个球是白球的概率？
⑵ 已知取出的球为白球，此球属于第二个箱子的概率？
[解答] 设﹛从第个箱子中取到白球﹜
﹛取到白球﹜
⑴ 由全概率公式可得
⑵ 由贝叶斯公式可得
8．假使有两箱同种零件：第一箱内装件，第二箱内装件，其中件一等品，现在从两箱中随意挑出一箱，然后从该箱中先后随机取出两个零件（取回的零件不放回），求：
⑴ 先取的零件是一等品的概率？
⑵ 在先取出的零件是一等品的条件下，第二次取出的零件仍是一等品的条件概率？
[解答] 设﹛被挑出的是第箱﹜
﹛第次取出的零件是一等品﹜
则 ， ,
⑴
⑵ 由全概率公式可得
9．袋中有个球，其中有个是新的，第一次比赛时从中任取个用，比赛结束后仍放回袋中，第二次比赛再从袋中任取个，求：
⑴ 第二次取出的球都是新球的概率？
⑵ 又已知第二次取出的球都是新球，第一次取到的都是新球的概率？
[解答] 设﹛第次取到新球﹜
﹛第二次取到新球﹜
⑴
⑵
10．设甲乙两袋，甲袋中装有个白球，个红球，乙袋中装有个白球，个红球，现在从甲袋中任取一只放入乙袋，再从乙袋中任取一球，问取到白球的概率？
[解答] 设﹛从甲袋中取到白球﹜
﹛从甲袋中取到红球﹜
﹛从乙袋中取到白球﹜
则
11．设有来自三个地区的各名，名和名考生的报名表，其中女生的报名表分别为份，份和份，随机地取一个地区的报名表，从中先后抽出两份，
⑴ 求先抽到的一份中是女生表的概率？
⑵ 已知后抽到的一份是男生表，求先抽到的一份是女生表的概率？
[解答] 设﹛报名表是区考生的﹜
﹛第次取到的报名表是男生的﹜
则 ；
, ,
⑴
⑵ 由全概率公式可得
于是
12．架长机和架僚机一同飞往某目的地进行轰炸，但要到达目的地，非有无线电导航不可，而只有长机具有此项设备，一旦到达目的地，各机将独立的进行轰炸，且炸毁目的地的概率均为，在到达目的地之前，必须经过高射炮阵地上空，此时任一机被击落的概率为，求目标被炸毁的概率.
[解答] ｛目标被炸｝
｛长机到达目的地｝
｛长机与一架僚机到达目的地｝
｛长机与两架僚机到达目的地｝
表示长机到达
表示一架僚机到达
表示另一架僚机到达
习 题 二
一．填空题
1．设随机变量～，～，若，则＿
[解答] ，可得
则
2． 已知随机变量只能取四个数，其相应的概率依次为，则
＿
[解答] 由，可得
，解得
4．设在上服从均匀分布，则方程有实根的概率为＿
[解答] {方程有实根}
6．已知联合密度为，则＿，的边缘概率密度＿
[解答] 由，可得
，得
7．设平面区域由曲线及直线所围成，二维随机变量在上服从均匀分布，则关于的边缘密度在处的值为＿
[解答] 区域的面积为，由题意可得的概率密度为
则关于的边缘密度在处的值为
三．证明题
2．设是相互独立的随机变量，他们分别服从参数为的泊松分布，证明：服从参数为的泊松分布.
证明： 因为
，
于是
=
即服从参数为的泊松分布.
3．设是分布函数，证明：对于任意，函数也是分布函数.
证明：作积分变换，则
⑴ 是分布函数，于是
即
⑵ 是分布函数，对于任意，有
所以是递增函数.
⑶ 是分布函数，所以对，当时，
，于是
由任意性可知，即右连续.
⑷ 因为
所以对，当时，，当时，，
于是当时
由任意性可知
当时
由任意性可知
综上所述，也是分布函数.
四．计算题
2．某射手有发子弹，射击一次命中率为，如果他命中目标就停止射击，命不中就一直射击到用完发子弹，求所用子弹数的分布密度.
[解答] 由题意可得的分布率为
即的分布率为
6．随机变量的分布密度为
求： ⑴ 常数. ⑵ ⑶ 分布函数.
[解答] ⑴ 由的性质可得
即
⑵
⑶
当时，
当时，
当时，
所以的分布函数为
7．设测量从某地到某一目标的距离时带有的随机误差具有分布密度函数
求： ⑴ 测量误差的绝对值不超过的概率.
⑵ 接连测量三次，每次测量是相互独立进行的，则至少有一次误差的绝对值不超过的概率.
[解答] ⑴ 由题意可得～，则
⑵ ～
则
8．设电子元件的寿命具有密度为
问在小时内， ⑴ 三只元件中没有一只损坏的概率是多少？ ⑵ 三只元件中全损坏的概率是多少？ ⑶ 只有一只元件损坏的概率是多少？
[解答] 以表示第只电子元件的寿命，以表示事件“在使用小时内，第只电子元件损坏”，则
⑴
⑵
⑶
9．对圆片直径进行测量，其值在上均匀分布，求圆片面积的概率分布.
[解答] 设圆片直径的测得值为，面积为，则，又的分布密度为
由，有，在为单调函数，则
，则
故
11．设服从参数为的分布，在下，关于的条件分布为表，表所示
求的联合概率分布，以及在时，关于的条件分布.
[解答] 由题意可知，，所以
又
所以的联合概率分布为 在时，关于的条件分布为
12．设随机变量相互独立，并在上服从均匀分布，求随机变量的分布密度.
[解答] 由题意可得
由于相互独立，故的联合分布密度函数为
⑴ 当时，，所以
⑵ 当时，，所以
⑶ 当时，，所以
所以
13．设相互独立，分布密度分别为
求随机变量的分布密度.
[解答] 由于相互独立，故的联合分布密度函数为
则 的分布函数为
当时，
当时，
所以的分布密度为，即
14．设相互独立，且在上均匀分布，求使方程有实根的概率.
[解答] 在上均匀分布，则的分布密度为
又相互独立，所以
～
方程有实根条件是
即
所以
15．设的密度为
求： ⑴ ; ⑵
[解答] ⑴
⑵
16．假设随机变量服从参数为的指数分布，随机变量
⑴ 求和联合概率分布； ⑵ 求
[解答] 随机变量服从参数为的指数分布，则由题意可得
⑵
习 题 3
5．设～，(为正整数)，则＿
[解答] 由题意有
(奇函数)
所以 故
6．设随机变量在区间上服从均匀分布，随机变量，则方差
＿
[解答] 由题意可得
则 ，所以
7．若随机变量相互独立，且服从相同的两点分布，则服从＿分布，＿，＿.
[解答] 设为事件发生的概率，则由题意可得
所以
一．选择题
1．设随机变量与独立同分布，记，则随机变量与必然
不独立 独立
相关系数为零 相关系数为零
[解答]
所以 与互不相关，故选择，但与互不相关却不能推断出与相互独立.
2．设，则
不存在
[解答] 由于为非收敛数列，所以不存在,故应该选.
4．已知与的联合分布如下表所示，则有
与不独立 与独立
与不相关 与彼此独立且相关
[解答] 与的边缘分布律分别为
～ ～
则可计算得
，所以与相关，又
所以与不独立，故应该选.
9．随机变量与不相关的充分必要条件为
[解答] 不相关的充要条件是，则
即 ，于是 ，所以选.
10．人的体重～，，，个人的平均体重为，则下列结论正确的是
[解答] 由题意可知 ，则
所以应该选.
三．证明题
1．设是随机变量，是常数，证明：，其中.
证明：
2．设和为相互独立的随机变量，其分布密度为
，
证明：他们的卷积，即随机变量的分布密度也服从正态分布.
证明：由题意可知和服从分布，则
令，得
即也服从分布.
3．设相互独立，证明：
证明：因为相互独立，所以
于是
又
从而
4．设和为随机变量的任意两个可取值，分别为其数学期望与方差，则
证明：
四．计算题
1．设的分布律为，求.
[解答]
2．设随机变量具有概率密度为，求.
[解答]
3．设随机变量和的联合分布为
求
[解答] 的概率分布为
则
4．一汽车沿一街道行使需要通过三个设有红绿信号灯路口，每个信号灯为红或绿与其他信号灯为红或绿相互独立，且红绿两种信号显示的时间相等，以表示该汽车首次遇到红灯前已通过的路口的个数，求 ： ⑴ 的概率分布； ⑵
[解答] ⑴ 的取值应该为以表示事件“汽车在第个路口首次遇到红灯”，则 ，且相互独立，则
⑵
5．设的分布密度
求.
[解答]
6．设服从区域上的均匀分布，求相关系数.
[解答] 因为的面积为，故和的联合密度函数为
于是
即
则
又
则
7．在长为的线段上任选两点，求两点间距离的数学期望与方差.
[解答] 设分别表示两点的坐标，服从区域上的均匀分布，其联合密度函数为
令，则的分布密度为
当时，
当时，
于是
当时，区域包含整个正方形区域，则
即
则密度函数为
所以
8．设为服从正态分布的随机变量，且相互独立，求.
[解答]
9．设随机变量的分布函数为
求.
[解答]
10．设的联合密度为
求.
[解答]
所以
同理可得
又
故
11．假设一部机器在一年内发生故障的概率为，机器发生故障时全天停止工作，若一周个工作日里无故障，可获利润万元，发生一次故障仍可获利润万元；发生二次故障所获利润万元；发生三次或三次以上故障就要亏损万元，求一周内期望利润是多少？
[解答] 以表示一周内机器发生故障天数，且～，则
以表示所获利润，则
(万元)
12．设二维随机变量的密度函数为
其中和都是二维正态密度函数，且它们对应的二维随机变量的相关系数分别为和.他们的边缘密度函数所对应的随机变量的数学期望都是零，方差都是.
⑴ 求随机变量和的密度函数和，及和的相关系数；
⑵ 问与是否独立？为什么？
[解答] ⑴ 二维正态密度函数两个边缘密度都是正态密度函数，因此和两个边缘密度为标准正态密度函数，即
同理可得
由于～，～，则，
又
所以相关系数
⑵ 由题意可设
由于,所以与不独立.
全部完成！缺少高等数学第八、九章；线性代数第一章答案！！